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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right.$ en $x=0$

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=0$.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$

a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.

Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=0$

a) $f(0) = 0$

b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) $

Por como está definida $f$ tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} 7x = 0$. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (\sin(7x) + 2x^2 \ln(x))$

Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 8 b), el resultado que nos había dado era $0$. 

Perfecto, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y ambos nos dieron $0$. Por lo tanto,

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$

c) $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=0$.

Ahora estudiamos derivabilidad en $x=0$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} $

La expresión $f(0+h)$ cambia según si $h$ tiende a $0$ por derecha o por izquierda, por lo tanto, necesitamos abrir el límite:

Por derecha:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin(7h) + 2h^2 \ln(h)}{h} $

Ojo acá cuando tomamos límite, primero tenemos que ver qué le pasa al término $h^2 \cdot \ln(h)$, ahí tenés una indeterminación de tipo "cero por infinito". La resolvemos en un cálculo auxiliar (reescribimos como un cociente y aplicamos L'Hopital)

Cálculo auxiliar

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} h^2 \cdot \ln (h) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(h)}{\frac{1}{h^2}} $

Aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{  \frac{1}{h}  }{ -\frac{2}{h^3}  } = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} - \frac{1}{2} h^2 = 0 $

Perfecto, ahora que ya sabemos que esa partecita tiende a cero, sabemos que estamos frente a un "cero sobre cero" y aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h^2 \cdot \frac{1}{h}}{1} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} $

Y acá de nuevo, al tomar límite tenemos primero que ver qué le pasa al término $h \cdot \ln(h)$, ahí tenés nuevamente una indeterminación de tipo "cero por infinito". Si la resolves de nuevo en un cálculo auxiliar de manera similar a como hicimos recién, vas a ver que $h \cdot \ln(h)$ tiende a $0$. 

Entonces, volviendo a nuestro límite:

$\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} = 7$

Por izquierda:

$ \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{7h}{h} = 7$

Listo, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y coinciden! Por lo tanto...

$ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 7 $

Es decir, $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 7$
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Carlos
22 de junio 15:38
buenas profe, cuando calculas el limite por derecha en el cociente incremental, en el numerador 2h^2.ln(h) no es una indeterminacion?, o sea en el ejercicio 8 item B es una indeterminacion 0.infinito y aca es una indeterminacion 0/0. No entiendo por que seria una interminacion 0/0 sabiendo que h es 0. Pensaria que por l'h es 0/0 pero despues pones l'h de nuevo pero si lo pienso ahi nomas me sale 0.infinito 


 
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Flor
PROFE
23 de junio 11:56
@Carlos Hola Carlos! Está perfectoooo lo que decís! $h^2 \ln(h)$ tiende a cero, pero no es trivial, es una indeterminación cero por infinito también y hay que justificarla igual que como hicimos abajo (yo me comí el primero y no lo justifiqué, fue mala mía)

Ahí acabo de editar el ejercicio! Muchas gracias por avisarmeee! Fijate si ahora queda más claro :)
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