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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
b) f(x)={sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x) si x>07x si x≤0f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin(7x)+2x^{2}\ln(x) & \text{ si } x>0 \\ 7x & \text{ si } x \leq 0\end{array}\right. en x=0x=0

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función f(x)f(x) es derivable en x=0x=0. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de ff en x=0x=0.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función ff para ser continua en un x=x0x=x_0

a) f(x0)f(x_0) debe estar definida.
b) El límite de f(x)f(x) cuando xx tiende a x0x_0 debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando xx tiende a x0x_0 debe ser igual a f(x0)f(x_0).

Veamos si nuestra ff cumple estas tres condiciones cuando x=0x=0

a) f(0)=0f(0) = 0

b) Calculamos el lim⁡x→0f(x)\lim_{x \rightarrow 0} f(x)

Por como está definida ff tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

lim⁡x→0−7x=0\lim_{x \rightarrow 0^{-}} 7x = 0. lim⁡x→0+(sin⁡(7x)+2x2ln⁡(x))\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (\sin(7x) + 2x^2 \ln(x))

Este límite ya lo resolvimos en el Ejercicio 8 b), el resultado que nos había dado era 00. 

Perfecto, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y ambos nos dieron 00. Por lo tanto,

lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0

c) lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto ff es continua en x=0x=0.

Ahora estudiamos derivabilidad en x=0x=0. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

La expresión f(0+h)f(0+h) cambia según si hh tiende a 00 por derecha o por izquierda, por lo tanto, necesitamos abrir el límite:

Por derecha:

lim⁡h→0+sin⁡(7h)+2h2ln⁡(h)h \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin(7h) + 2h^2 \ln(h)}{h}

Ojo acá cuando tomamos límite, primero tenemos que ver qué le pasa al término h2⋅ln⁡(h)h^2 \cdot \ln(h), ahí tenés una indeterminación de tipo "cero por infinito". La resolvemos en un cálculo auxiliar (reescribimos como un cociente y aplicamos L'Hopital)

Cálculo auxiliar

lim⁡h→0+h2⋅ln⁡(h)= lim⁡h→0+ln⁡(h)1h2 \lim_{h \rightarrow 0^{+}} h^2 \cdot \ln (h) = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(h)}{\frac{1}{h^2}}

Aplicamos L'Hopital:

lim⁡h→0+ 1h −2h3 = lim⁡h→0+−12h2=0 \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{  \frac{1}{h}  }{ -\frac{2}{h^3}  } = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} - \frac{1}{2} h^2 = 0

Perfecto, ahora que ya sabemos que esa partecita tiende a cero, sabemos que estamos frente a un "cero sobre cero" y aplicamos L'Hopital:

lim⁡h→0+7cos⁡(7h)+4hln⁡(h)+2h2⋅1h1= lim⁡h→0+7cos⁡(7h)+4hln⁡(h)+2h1  \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h^2 \cdot \frac{1}{h}}{1} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} 

Y acá de nuevo, al tomar límite tenemos primero que ver qué le pasa al término h⋅ln⁡(h)h \cdot \ln(h), ahí tenés nuevamente una indeterminación de tipo "cero por infinito". Si la resolves de nuevo en un cálculo auxiliar de manera similar a como hicimos recién, vas a ver que h⋅ln⁡(h)h \cdot \ln(h) tiende a 00. 

Entonces, volviendo a nuestro límite:

lim⁡h→0+7cos⁡(7h)+4hln⁡(h)+2h1=7\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{7 \cos(7h) + 4h \ln(h) + 2h}{1} = 7

Por izquierda:

lim⁡h→0−7hh=7 \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{7h}{h} = 7

Listo, calculamos los límites por derecha y por izquierda, y coinciden! Por lo tanto...

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=7 f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 7

Es decir, ff es derivable en x=0x=0 y f′(0)=7f'(0) = 7
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Carlos
22 de junio 15:38
buenas profe, cuando calculas el limite por derecha en el cociente incremental, en el numerador 2h^2.ln(h) no es una indeterminacion?, o sea en el ejercicio 8 item B es una indeterminacion 0.infinito y aca es una indeterminacion 0/0. No entiendo por que seria una interminacion 0/0 sabiendo que h es 0. Pensaria que por l'h es 0/0 pero despues pones l'h de nuevo pero si lo pienso ahi nomas me sale 0.infinito 


 
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Flor
PROFE
23 de junio 11:56
@Carlos Hola Carlos! Está perfectoooo lo que decís! h2ln⁡(h)h^2 \ln(h) tiende a cero, pero no es trivial, es una indeterminación cero por infinito también y hay que justificarla igual que como hicimos abajo (yo me comí el primero y no lo justifiqué, fue mala mía)

Ahí acabo de editar el ejercicio! Muchas gracias por avisarmeee! Fijate si ahora queda más claro :)
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